Leonardo Fibonacci (c. 1170 - após 1240)
O italiano Leonardo Fibonacci foi o primeiro grande matemático na Europa durante a Idade Média. Ele era também conhecido como Leonardo de Pisa. Foi treinado para ser um homem de negócios e começou viajando de Pisa, sua cidade natal, para outros lugares. Durante essas viagens estudou outros sistemas numéricos e aprendeu o sistema numérico hindu-arábico, que acreditava ser superior ao sistema numérico romano. Ele também estudou álgebra e geometria lendo as obras de Diofante. Por volta de 1200, dedicou seus esforços ao desenvolvimento, à escrita e à aplicação da matemática.
Entre os livros de Fibonacci incluem-se Liber abbaci (1202), Practica geometriae (1220) e Liber quadratorum (1225). Por meio de sua dedicação e de seu trabalho duro ele apresentou aos europeus o sistema numérico hindu-arábico e foi pioneiro na restauração da matemática na Idade Média.
. Liber abbaci chamou a atenção do mundo ocidental para as impressionantes descobertas matemáticas dos árabes. Particularmente, o livro apresenta os algarismos arábicos que utilizamos hoje em dia. Embora as considerações práticas fossem sua maior preocupação, ele também estava interessado na geometria e na álgebra teóricas. Ele descobriu a seqüência de Fibonacci dos números inteiros na qual cada número é igual à soma dos dois precedentes (1, 1, 2, 3, 5, 8...) apresentando-a em termos de uma população de coelhos. Essa seqüência tem muitas propriedades curiosas e dignas de nota.
Outra seqüência que tem as mesmas propriedades da seqüência de Fibonacci é o número de ouro datada de há mais de 2 000 anos. Os "antigos" perceberam-se que a arte e a arquitetura baseadas na razão de ouro, eram invulgar mente agradáveis à vista. A razão de ouro começou por ser definida em termos geométricos. O número de ouro pode ser encontrado através da razão da largura e do comprimento de um retângulo de ouro.
Mas porque o número de ouro tem a ver com a seqüência de Fibonacci?
O número de ouro tem o valor j = ( 1 + Ö 5 )/2 (= 1,618 033 989...)
Como se lembram da secção da Sucessão de Fibonacci, temos a seguinte seqüência de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233....
Se dividirmos cada um destes números pelo seu antecedente, reparamos que essa razão vai tender para um certo valor.
Isto é, se fizermos F2/F1=1; F3/F2=2; F4/F3=1,5; F5/F4=1,6(6); F6/F5=1,6 e se continuarmos assim sucessivamente, obtemos a seguinte seqüência de números:
1,000 000; 2,000 000; 1,500 000; 1,666 666; 1,600 000; 1.625 000; 1,615 385; 1,619 048; 1,617 647; 1,618 182; 1,617 978; 1,618 056; 1,618 026; 1,618 037; 1,618 033; ...
Então Fn+1/Fn aproxima-se cada vez mais de j(Phi)
Esta expansão decimal prolongar-se-á sem nunca se repetir (logo é um número irracional).
De facto, quando se prolongam estas "razões de Fibonacci" indefinidamente, o valor gerado aproxima-se cada vez mais do número de ouro.
Postado por : Thaís Moreno
Inglês:
The Italian Leonardo Fibonacci was the first great mathematicianin Europe during the Middle Ages. He was also known asLeonardo of Pisa. He was trained to be a businessman and begantraveling from Pisa, his home town to other places. During these trips other number systems studied and learned the Hindu-Arabicnumber system, he believed to be superior to the Roman numeral system. He also studied algebra and geometry by reading theworks of Diophantus. Around 1200, he devoted his efforts to developing, writing and the application of mathematics.
Among the books include Fibonacci abbaci Liber (1202), Practicageometriae (1220) and Liber quadratorum (1225). Through his dedication and his hard work he presented to the European Hindu-Arabic numeral system and pioneered the restoration of mathematics in the Middle Ages.
. Liber abbaci drew the attention of the Western world foroutstanding mathematical discoveries of the Arabs. In particular,the book presents the Arabic numerals we use today. Althoughpractical considerations were their biggest concern, he was also interested in geometry and algebra theory.
He discovered the Fibonacci sequence of integers in which each number is the sum of the previous two (1, 1, 2, 3, 5, 8 ...) presenting it in terms of arabbit population. This sequence has many curious properties that are noticeable.
Another sequence that has the same properties of the Fibonacci sequence is the number of gold dated for over two thousand years.The "old" realized that the art and architecture based on the golden ratio, were unusual mind pleasing to the eye. The ratio of gold began to be defined in geometric terms. The number of gold can be found through the ratio of the width and length of a rectangle of gold.
But because the number of gold has to do with the Fibonacci sequence?
5) / 2 (= 1.618 033 989 ...)Ö = (1 + jThe number of gold has a value of
How to remember the section of the Fibonacci sequence, we have the following sequence of numbers 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ....
If we divide each of these numbers by its antecedent, we note that this ratio will tend toward a certain value.
That is, if we F2/F1 = 1, 2 = F3/F2, F4/F3 = 1.5, F5/F4 = 1.6 (6), F6/F5 = 1.6 and if we continue so, we get the following sequence of numbers:
1.000 000, 2.000 000, 1.500 000, 1.666 666, 1.600 000, 1625 000, 1.615 385, 1.619 048, 1.617 647, 1.618 182, 1.617 978, 1.618 056, 1.618 026, 1.618 037, 1.618 033, ...
(Phi)jThen Fn +1 / Fn approaches increasingly
The decimal expansion will extend never be repeated (so it is an irrational number).
In fact, when you extend this "Fibonacci ratios" indefinitely, the value generated close to increasing the number of gold.
But because the number of gold has to do with the Fibonacci sequence?
5) / 2 (= 1.618 033 989 ...)Ö = (1 + jThe number of gold has a value of
How to remember the section of the Fibonacci sequence, we have the following sequence of numbers 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ....
If we divide each of these numbers by its antecedent, we note that this ratio will tend toward a certain value.
That is, if we F2/F1 = 1, 2 = F3/F2, F4/F3 = 1.5, F5/F4 = 1.6 (6), F6/F5 = 1.6 and if we continue so, we get the following sequence of numbers:
1.000 000, 2.000 000, 1.500 000, 1.666 666, 1.600 000, 1625 000, 1.615 385, 1.619 048, 1.617 647, 1.618 182, 1.617 978, 1.618 056, 1.618 026, 1.618 037, 1.618 033, ...
(Phi)jThen Fn +1 / Fn approaches increasingly
The decimal expansion will extend never be repeated (so it is an irrational number).
In fact, when you extend this "Fibonacci ratios" indefinitely, the value generated close to increasing the number of gold.
:a
:b
:c
:d
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:f
:g
:h
:i
:j
:l
:m
:n
:o
:p
:q
:r
:s
:a Perfeito .